Cấp số nhân là một trong những kiến thức quan trọng mà các bạn học sinh cấp 3 cần nắm vững. Công thức cấp số nhân tương đối đơn giản và dễ hiểu và mọi người có thể dễ dàng áp dụng. Tuy nhiên, nó lại tương đối dễ quên, thế nên, hãy cùng chúng tôi tìm hiểu về “Cấp số nhân là gì?” cũng như công thức tính ngay đây.
Mục Lục
Giới thiệu về lý thuyết cấp số nhân
Cấp số nhân là lý thuyết mà mọi người được học từ những năm lớp 11, tuy nhiên nhiều bạn học sinh dường như quên mất. Bởi lẽ, nó không hay được áp dụng nhưng lại xuất hiện trong bài thi THPT Quốc gia, thế nên hãy cùng chúng tôi nhắc lại về lý thuyết này nhé!
Cấp số nhân là gì?
Trong toán học đại số, cấp số nhân là một dãy số (có thể hữu hạn hoặc vô hạn) nhằm thỏa mãn điều kiện mà kể từ số hạn thứ 2. Mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với cùng một số không thay đổi. Hằng số này sẽ có tên gọi là công bội của cấp số nhân (q)
Cụ thể như sau: Gọi Un là cấp số nhân và q là công bội, ta có được công thức truy hồi như sau: Un+1=Un*q với n ∈ N*
Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) thỏa mãn U1 = 6, q = 3. Hãy xác định U2.
Lời giải: Ta có U2 = q*U1 = 6*3 = 18.
Công bội của cấp số nhân là gì?
Trước khi tìm hiểu về công thức cấp số nhân, chúng ta cùng điểm qua định nghĩa về công bội. Công bội của cấp số nhân sẽ được ký hiệu là q, với q là một hằng số không đổi và có công thức tính như sau: q= (Un+1Un) / Un với Un là cấp số nhân. Một số trường hợp đặc biệt như sau:
- Khi q=0, cấp số nhân sẽ có dạng như sau: u1, 0,0,…0,…
- Khi q=1, cấp số nhân sẽ có dạng như sau: u1, u1, u1,…u1,…
- Khi u1=0 với mọi q tương ứng, cấp số nhân sẽ có dạng như sau: 0, 0, 0,…0,..
Ví dụ: Cho cấp số nhân (un), biết số hạng đầu tiên u1 = 8 và những số hạng kế tiếp là u2 = 24. Hãy xác định công bội (q) của dãy số này
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
Đáp án: D
Lời giải: Ta áp dụng công thức tổng quát: un+1=un*q, với
- u1 = 8
- u2 = 24
Tiến hành thay số vào ta có: u2 = u1*q ⇒ 24 = 8*q ⇒q = 3.
Công thức cấp số nhân tổng quát dễ nhớ
Từ lý thuyết về cấp số nhân được chúng tôi cung cấp trên, nếu như gọi Un là cấp số nhân và q là công bội. Ta sẽ có được công thức tính cấp số nhân như sau:
- Công thức tổng quát: Un+1 = Un*q
- Công thức tính số hạng bất kỳ:
Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un), biết rằng số hạng đầu tiên u1 = 3 và có công bội 1 = 2. Hãy xác định số hạng thứ 5
A. 96
B. 48
C. 24
D.12
Đáp án:
Lời giải:
Áp dụng công thức số hạng bất kì: 
, ta có:
- u1 = 3
- q = 2
- n = 5
Thay số vào: 
Tính chất của cấp số nhân
Cũng giống như những phép tính khác, cấp số nhân cũng có một số tính chất nhất định, cụ thể như sau:
- Nếu gọi (Un) là một cấp số nhân thì kể từ số hạn thứ 2, bình phương của mỗi số hạn (trừ đi số hạn cuối cùng nếu đó là cấp số nhân hữu hạn) sẽ được tính bằng tính của số đằng trước cũng như đứng sau nó. Ta có công thức cấp số nhân như sau: .
- Nếu một cấp số nhân (Un) có số hạng đầu (U1) và công bội là q thì số hạng tổng quát Un sẽ được xác định bởi công thức sau:
.
Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) với công bội q>0. Trong đó, u1=1 và u3=3. Hãy tìm u4.
Lời giải: Ta áp dụng công thức 
Công thức cấp số nhân tính tổng của n số hạng đầu tiên trong dãy
Để tính tổng của n số hạng đầu tiên trong dãy, ta gọi Un là cấp số nhân, q là công bội và Sn là tổng của cấp số nhân. Ta có công thức sau đây:
Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân sau S = 2 + 6 + 18 +…+13122
Lời giải:
Ta có: Cấp số nhân (Un) có 
Mà ta lại có: 
Qua những thông tin chúng tôi vừa cung cấp trên, hy vọng anh em cược thủ đã hiểu thêm phần nào về “Cấp số nhân là gì?” cũng như công thức cấp số nhân chi tiết nhất. Có thể thấy, đây là một kiến thức toán học 11 vô cùng quan trọng mà các bạn học sinh nên nắm vững để chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi.
